Integrazione di funzioni razionali

F(x) = ∫[(x^2 + 1) / (x^2 + 4)] dx;

(x^2 + 1) / (x^2 + 4) = (x^2 + 4 - 3) / (x^2 + 4)=

= (x^2 + 4) / (x^2 + 4) - 3 / (x^2 + 4) =  1 -  [ 3 / (x^2 + 4)];

3 / (x^2 + 4) = 3 / {4 * [(x/2)^2 + (4/4)]} = (3/4) /[(x/2)^2 + 1];

F(x) = ∫{1 -  [ 3 / (x^2 + 4)]} dx =

=  ∫1 * dx - ∫3/4 * {1 / [(x/2)^2 + 1]} dx;

∫1  dx = x + C;

- ∫3/4 * {1 / [(x/2)^2 + 1]} dx per sostituzione: x/2 = t; x = 2 t; dx = 2 dt;

- ∫3/4 * {1 / [t^2 + 1]} * 2 dt = - 3/2 ∫1 / [t^2 + 1] dt  =

= - 3/2 arctan(t^2 + 1) = 3/2 arctan(x/2) + C;

∫[(x^2 + 1) / (x^2 + 4)] dx = x -  3/2 arctan(x/2) + C ;

y(x) = x -  3/2 arctan(x/2) + C ; funzione primitiva (F(x);

deve passare nel punto P = (2; 0);

y = 0;  x = 2;

2 -  3/2 arctan(2/2) + C = 0;

C = 3/2 * arctan(1) - 2

arctan(1) = 45° = π/4;

C = (3/2) * π/4 - 2 = 3 π/(2 * 4) - 2 = 3 π /8 - 2;

F(x) = x -  3/2 arctan(x/2) + 3 π /8 - 2.

Ciao @alby

divisione:

(x^2 + 1) : (x^2 + 4) = 1 ; con il resto di - 3 / (x^2 + 4);

Procediamo con la divisione

$ f(x) = \frac{x^2+1}{x^2+4} = 1 - \frac{3}{x^2+4} $   passiamo all'integrale

$ \int f(x) \, dx = \int 1 \, dx - 3 \int \frac{1}{x^2+4}\, dx = x - 3\int \frac{1}{4(\frac{x^2}{4}+1)} = x - \frac{3}{4}\int \frac{1}{(\frac{x}{2})^2 + 1} = \; ⊳ $

Per sostituzione. Poniamo $ t =  \frac{x}{2} \; ⇒ \; 2 dt = dx $

$ ⊳ \; = x - \frac{3}{2}\int \frac{1}{t^2 + 1} \, dt = x - \frac{3}{2} arctan t + c = x - \frac{3}{2} arctan (\frac{x}{2}) + c $      quindi 

$ F(x) = x - \frac{3}{2} arctan (\frac{x}{2}) + c $

La primitiva che passa per P(2,0) è

$ F(2) = 0 $

$ 2 - \frac{3}{2} arctan 1 + c = 0 \; ⇒ \; 2- \frac{3\pi}{8} + c = 0 \; ⇒ \; c = \frac{3\pi}{8}-2 $

La primitiva sarà

$ F_2(x) = x - \frac{3}{2} arctan (\frac{x}{2}) + \frac{3\pi}{8}-2 $