Integrazione di funzioni composte e per sostituzione.

Problema:

Si calcoli il seguente integrale:

$\int 2^{3r+1}dr$

Soluzione:

L'integrale dato può esser risolto per mera sostituzione; la sostituzione consiste nell'indicare una parte di funzione tramite una variabile.

Nel caso in questione l'obbiettivo è ricondursi ad uno  degli integrali elementari, nello specifico quelli con una funzione integranda del tipo $n^x$.

La scelta più opportuna è dunque nominare l'esponente con $t$.

$t=3r+1$

È necessario derivare da entrambi i lati per trovare il sostituto del differenziale.

$dt=3dr \rightarrow dr=\frac{dt}{3}$

Sostituendo si ottiene dunque:

$\int 2^{3r+1}dr= \int \frac{2^tdt}{3}$

Applicando la linearità dell'integrale e l'integrale elementare si ottiene:

$\int \frac{2^tdt}{3}=\frac{1}{3} \times \frac{2^t}{\ln 2} +c$

Sostituendo $t=3r+1$, si ottiene:

$\frac{2^{3r+1}}{3 \ln 2} +c$, $c \in \mathbb{R}$

$ t = 3r+1 \; ⇒ \; dt = 3 dr \; ⇒ \; \frac{1}{3} dt = dr $

$ \int 2^{3r+1} dr =  \frac{1}{3} \int 2^t dt = \frac{1}{3} \frac {2^t}{ln 2} + c = \frac {2^{3r+1}}{3 ln 2} + c $

Quando abbiamo scritto 1/3 fuori dal simbolo di integrale abbiamo usato la proprietà di linearità dell'operatore integrale.

$ \int a \cdot f(x) + b \cdot g(x)\, dx = a \int f(x)\, dx + b \int g(x) \, dx $