Integrali X sostituzione.

Poniamo $ t = \sqrt{x+1} \; ⇒ \; x = t^2-1 \; ⇒ \; dx = 2t\, dt $

inoltre Se x = 3 allora t = 2  e se x = 8 allora t = 3

$\int_3^8 \frac{\sqrt{x+1}}{x} \, dx =$

$= \int_2^3 \frac{t}{t^2-1} \; 2t \, dt =$

$= 2\int_2^3 \frac{t^2}{t^2-1} \, dt =$

$= 2\int_2^3 \frac{t^2-1+1}{t^2-1} \, dt =$

$= 2\int_2^3 1 \, dt + 2\int_2^3 \frac{1}{t^2-1} \, dt =$

Il secondo integrale si risolve per decomposizione, metodo visto decine di volte il cui risultato è

$= 2\int_2^3 1 \, dt + 2\frac{1}{2}\int_2^3 \frac{1}{t-1} \, dt - 2\frac{1}{2}\int_2^3 \frac{1}{t+1} \, dt =$

$= \left. 2t + ln(t-1) - ln(t+1) \right|_2^3 =$

Abbiamo omesso il valore assoluto poiché nell'intervallo [2, 3] gli argomenti dei logaritmi assumono valori positivi

$ 6 + ln(2) - 2ln(2) -4 + ln(3) = $

$= 2 + ln \left(\frac{3}{2}\right) $