Integrali Rissuntivi

∫(e^x^(1/3))dx=

sostituzione:

t = x^(1/3)

x = t^3

dx=3·t^2 dt

∫(e^t·3·t^2)dt=

=3·∫(t^2·e^t)dt=

=3·(t^2·e^t - 2·∫(t·e^t)dt=

=3·(t^2·e^t - 2·(t·e^t - ∫(e^t)dt=

=3·(t^2·e^t - 2·(t·e^t - e^t))=

=3·((x^(1/3))^2·e^x^(1/3) - 2·(x^(1/3)·e^x^(1/3) - e^x^(1/3)))=

=3·e^x^(1/3)·(x^(2/3) - 2·x^(1/3) + 2) + C

Prima sostituzione t = x^(1/3);

e^[x^(1/3)]   diventa e^t;

x = t^3;

differenziale:

dx = 3 t^2 dt;

∫(e^[x^(1/3)] dx= ∫[e^t  * 3 t^2] dt = 3 ∫[e^t * (t^2)] dt;

poi integrazione per parti:

e^t = f'(t) fattore differenziale;  [f(x) = e^t]; 

t^2 = g(t) fattore intero; g'(t) = 2 t;

3 ∫[e^t  * t^2] dt = 3 (e^t * t^2) - 3∫e^t * (2t) dt,

ancora per parti l'integrale in grassetto:

e^t = f'(t) fattore differenziale; 2t = g(t) fattore intero; 

diventa:

= 3 (e^t * t^2) - {3 * e^t * 2t - 3 * ∫e^t *2 dt} =

= 3 t^2 e^t - 3  e^t * 2t  + 3 e^t * 2;

t = x^(1/3);

= 3 * x^(2/3) * e^[x^(1/3)] - 6 * e^[x^(1/3)] * x^(1/3) + 6 e^[x^(1/3)] =

= 3 * e^[x^(1/3)] * [x^(2/3) - 2 * x^(1/3) + 2 ] + C;

∫(e^[x^(1/3)] dx=

= 3 * e^[radicecubica(x)] * [radicecubica(x^2) - 2 radicecubica(x) + 2] + C.

Ciao  @alby