Integrali riassuntivi.

Questo è lunghetto...

$\int \frac{cos2x}{(2sinx+1)cosx} \,dx$

Seguiamo il suggerimento, che era anche la prima cosa che mi era venuta in mente.

$t=sinx$ e quindi $\frac{dt}{dx}=cosx$ pertanto risulterebbe, ricordandosi che $cos2x=1-2sin^2x$,

$\int \frac{1-2sin^2x}{(2sinx+1)cosx} \,dx =\int \frac{1-2t^2}{(2t+1)cosx} \,\frac{dt}{cosx} $ e ancora, ricordando che $cos^2x=1-sin^2x$

$\int \frac{1-2t^2}{(2t+1)(1-t^2)} \,dt $ 

Questo lo si può vedere come

$\int \frac{1-2t^2}{(2t+1)(1-t)(1+t)} \,dt $ 

concentrandoci solo sulla funzione integranda

$\frac{1-2t^2}{(2t+1)(1-t)(1+t)}=\frac{A}{2t+1}+\frac{B}{1+t}+\frac{C}{1-t}=\frac{A(1-t^2)+B(1+2t)(1-t)+C(1+2t)(1+t)}{(2t+1)(1-t)(1+t)}$

svolgendo si trova:

$\frac{t^2(2C-2B-A)+t(B+3C)+A+B+C}{(2t+1)(1-t)(1+t)}$

adesso ci si concentra sul solo numeratore:

$t^2(2C-2B-A)+t(B+3C)+A+B+C=1-2t^2$ e quindi

$2C-2B-A=-2$

$B+3C=0$

$A+B+C=1$

Da cui si trova $A=2/3$, $B=1/2$, $C=-1/6$.

Quindi

$\int \frac{1-2t^2}{(2t+1)(1-t)(1+t)} \,dt = \frac{2}{3} \int  \frac{1}{2t+1} \,dt + \frac{1}{2} \int  \frac{1}{t+1} \,dt -\frac{1}{6} \int  \frac{1}{1-t} \,dt$ 

Quindi

$\frac{2}{3} \int  \frac{1}{2t+1} \,dt + \frac{1}{2} \int  \frac{1}{t+1} \,dt -\frac{1}{6} \int  \frac{1}{1-t} \,dt = \frac{1}{3}ln|2t+1|+\frac{1}{2}ln|1+t|-\frac{1}{6}ln|1-t|+C$

Sostituisci $t$ e hai finito