Integrali riassuntivi.

$ \int x^2 arcsin x dx = $           Per parti

• fattore finito $f(x) =arcsin x \; ⇒\; f'(x) = \frac {1}{\sqrt{1-x^2}}$
• fattore differ. $g'(x) = x^2 \; ⇒ \; g(x) = \frac{x^3}{3} $

$ = \frac{x^3}{3} - \frac{1}{3} \int \frac {x^2 \cdot x}{\sqrt{1-x^2}} \, dt = $

per sostituzione. $ t = 1-x^2 \; ⇒ \; x^2 = 1-t \; ⇒ \; 2xdx = -dt \; ⇒ \; xdx = -\frac{1}{2} dt $

$ = \frac{x^3}{3} - \frac{1}{6} \int \frac {1-t}{t^{\frac{1}{2}}} \, dt =$

$ = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{3} t^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{9} t^{\frac{3}{2}} +c =$

$ = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{3} t^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{9} t \cdot t^{\frac{1}{2}} +c =$

$ = \frac{x^3}{3} + t^{\frac{1}{2}} ( \frac{1}{3} - \frac{1}{9} t ) +c =$

$ = \frac{x^3}{3} + \sqrt{1-x^2} ( \frac{1}{3} - \frac{1}{9} (1-x^2) )+ c= $

$ = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{9}\sqrt{1-x^2} ( 3 -  (1-x^2))  + c=$

$ = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{9}\sqrt{1-x^2} (x^2 + 2)  + c $