Integrali riassuntivi.

Si può procedere con due integrazioni elementari, applicazione delle condizioni iniziali e confronto.

PA'(t) e PB'(t) sono due velocità di crescita; sono due derivate;  integrando otteniamo le funzioni che descrivono il numero di abitanti negli anni.

PA(t) = ∫80 e^(0,01 t) dt = 80 / 0,01 * e^(0,01 t) + C;

PA(t) = 8000 * e^(0,01 t) + C;

PA(0) = 10 000 abitanti;

8000 * e^(0,01 * 0) + C = 10 000;

8000 + C = 10 000;

C = 10 000 - 8000 = 2000 abitanti;

PA(t) = 8000 * e^(0,01 t) + 2000;

PB(t) = ∫100 e^(0,02 t) dt = 100 / 0,02 * e^(0,02 t) + C;

PB(t) = 5000 * e^(0,02 t) + C;

PB(0) = 7000 abitanti;

5000 * e^(0,02 * 0) + C = 7000;

5000 + C = 7000;

C = 7000 - 5000 = 2000 abitanti;

PB(t) = 5000 * e^(0,02 t) + 2000;

Per quale valore di t (in anni),  PA = PB ?

8000 * e^(0,01 t) + 2000 = 5000 * e^(0,02 t) + 2000;;

8000 * e^(0,01 t) = 5000 * e^(0,02 t);

8 * e^(0,01 t) = 5 * e^(0,02 t);

8/5 = [e^(0,02 t)] / [e^(0,01 t)];

divisione di due potenze di uguale base: si sottraggono gli esponenti;

8/5 = e^[0,02 t - 0,01 t];

8/5 = e^(0,01 t);

ln(8/5) = 0,01 t;

0,01 t = ln8 - ln5;

0,01 t = 0,470;

t = 0,470 / 0,01 = 47 anni.

Ciao @alby