Integrali riassuntivi.

Sarebbe bello che il numeratore fosse eguale alla derivata del denominatore. Proviamo ad agire algebricamente, per ottenere un tale risultato.

Nota. la derivata del denominatore è $ \frac{d}{dx} (x^2+6x+10) = 2x+6$

1.

Moltiplichiamo e dividiamo per 2 il numeratore.

$ \int \frac{x+1}{x^2+6x+10} \, dx = \frac{1}{2}  \int \frac{2x+2}{x^2+6x+10} \, dx = $

Sommiamo e sottraiamo 4

$ \int \frac{x+1}{x^2+6x+10} \, dx = \frac{1}{2}  \int \frac{2x+6 - 4}{x^2+6x+10} \, dx = $

$ \int \frac{x+1}{x^2+6x+10} \, dx = \frac{1}{2}  \int \frac{2x+6}{x^2+6x+10} \, dx -2 \int \frac{1}{x^2+6x+10} \, dx = $

$ \int \frac{x+1}{x^2+6x+10} \, dx = \frac{1}{2} ln(x^2+6x+10) -2 \int \frac{1}{x^2+6x+10} \, dx = $

2. 

Sappiamo che gli integrali di questo tipo possono avere una componente espressa con l'arcotangente. Non ci resta che completare i quadrati del denominatore

$ \int \frac{x+1}{x^2+6x+10} \, dx = \frac{1}{2} ln(x^2+6x+10) -2 \int \frac{1}{x^2+6x+9 + 1} \, dx = $

$ \int \frac{x+1}{x^2+6x+10} \, dx = \frac{1}{2} ln(x^2+6x+10) -2 \int \frac{1}{(x+3)^2 + 1} \, dx = $

$ \int \frac{x+1}{x^2+6x+10} \, dx = \frac{1}{2} ln(x^2+6x+10) -2 arctan (x+3) + c $