Integrali riassuntivi.

$ \int xe^xsin x \, dx  = $ per parti

• fattore finito $f(x) = x \; ⇒\; f'(x) = 1$
• fattore differ. $g'(x) = e^x sin x \; ⇒ \; g(x) = \frac{1}{2} e^x(sin x - cos x) $

$ = \frac{1}{2} x e^x (sin x - cos x) - \frac{1}{2}\int e^x (sin x - cos x) \, dx = $

Sappiamo che $ \frac{1}{2}\int e^x (sin x - cos x) \, dx = \frac{1}{2} e^x cos x$ per cui

$ = \frac{1}{2} x e^x sin x - \frac{1}{2} x e^x  cos x + \frac{1}{2} e^x cos x + c $

Sono rimasti due integrali da provare.

Il primo è il fattore differenziale della prima applicazione per parti.

$ \int e^x sin x \, dx = $ anche questo per parti

• fattore finito $f(x) = sin x \; ⇒\; f'(x) = cos x $
• fattore differ. $g'(x) = e^x \; ⇒ \; g(x) = e^x $

$ = e^xsinx - \int e^x cos x \, dx = $ ancora per parti

• fattore finito $f(x) = cos x \; ⇒\; f'(x) = - sin x $
• fattore differ. $g'(x) = e^x \; ⇒ \; g(x) = e^x $

si ha così

$ \int e^xsin x \, dx = e^x(sin x - cos x) - \int e^xsin x \, dx $

$ 2\int e^xsin x \, dx = e^x(sin x - cos x) $

$ \int e^xsin x \, dx = \frac {1}{2} e^x(sin x - cos x) $

L'altro prendilo per buono, mi spiace ma ho finito il tempo a disposizione.