INTEGRALI RIASSUNTIVI

Inizialmente opereremo per parti per poi applicare un semplice passaggio algebrico che ci condurrà alla conclusione.

Per parti 1.

• fattore finito $f(x) = e^{2x} \; ⇒\; f'(x) = 2e^{2x} $
• fattore differ. $g'(x) = sin x \; ⇒ \; g(x) = - cos x $

per cui

$ \int sin x e^{2x} \, dx = -e^{2x}cos x + 2\int cos xe^{2x} \, dx $

Per parti 2.

• fattore finito $f(x) = e^{2x} \; ⇒\; f'(x) = 2e^{2x} $
• fattore differ. $g'(x) = cos x \; ⇒ \; g(x) = sin x $

per cui

$ \int sin x e^{2x} \, dx = -e^{2x}cos x + 2[e^{2x}sin x - 2\int sin xe^{2x} \, dx] $

Portiamo a sinistra l'ultimo integrale

$ \int sin x e^{2x} \, dx + 4\int sin x e^{2x} \, dx = -e^{2x}cos x + 2e^{2x}sin x $

$ 5 \int sin x e^{2x} \, dx = e^{2x}( 2 sin x - cos x) + c$

$ \int sin x e^{2x} \, dx = \frac {1}{5} e^{2x}( 2 sin x - cos x) +c $