Integrali riassuntivi.

Problema:

A che cosa è uguale l'integrale $\int \frac{\log_2x}{x}dx$ ?

(A) $\frac{1}{2}(\log_2x)²+C$

(B) $\frac{1}{2}(\log_2x) \ln x +C$

(C) $\frac{1}{\ln2}(\ln x)²+C$

(D) $\frac{1}{\ln2}\log_2x(\ln x)²+C$

(E) Nessuno dei precedenti

University of North Georgia, Mathematics Tournament, 2005 

Soluzione:

Per risolvere l'integrale dato è opportuno procedere per cambio di variabile e cambiamento di base per il logaritmo:

$\int \frac{\log_2x}{x}dx=\int \frac{\frac{ \ln x}{\ln2}}{x}dx=\frac{1}{\ln2}\int\frac{ \ln x}{x}dx$

$u= \ln x \rightarrow du=\frac{dx}{x}$

$\frac{1}{\ln2}\int\frac{ \ln x}{x}dx=\frac{1}{\ln2} \int udu=\frac{u²}{2\ln2}+c=\frac{\ln²x}{2\ln2}+c$, ove $c \in \mathbb{R}$.

Avvalendosi nuovamente del cambiamento di base del logaritmo, si ottiene che la risposta corretta risulta essere la B.

La B. Infatti

$ \int \frac{log\_2 (x)}{x} \, dx = \int \frac{ln (x)}{ln(2) x} \, dx = $

Per sostituzione. $ t = ln(x) \;⇒\; dt = \frac{1}{x}dx$

$ = \frac{1}{ln(2)}\int t \, dt = \frac{t^2}{2ln(2)} +c = \frac{ln^2(x)}{2ln(2)} +c = \frac{1}{2}\frac{ln(x)}{ln(2)}ln(x) + c = $

$=\frac{1}{2}log_2(x)  ln(x) + c $