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Integrali riassuntivi.

  

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Spiega la tecnica utilizzata, perchè? E quindi il ragionamento.

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∫(1/(e^(2·x) + 3·e^x + 2))dx=

pongo:

e^x = t---> x = LN(t)---> dx=1/t*dt

L'integrale diventa in t:

∫(1/(t^2 + 3·t + 2)·(1/t))dt=

con funzione integranda pari a:

1/(((t + 1)·(t + 2))·t) = a/(t + 2) + b/(t + 1) + c/t

1/(((t + 1)·(t + 2))·t) =

=(t^2·(a + b + c) + t·(a + 2·b + 3·c) + 2·c)/(t·(t + 1)·(t + 2))

Sistema:

{a + b + c = 0

{a + 2·b + 3·c = 0

{2·c = 1

Risolvo ed ottengo: [a = 1/2 ∧ b = -1 ∧ c = 1/2]

1/(((t + 1)·(t + 2))·t) = 1/(2·(t + 2)) - 1/(t + 1) + 1/(2·t)

∫(1/(t^2 + 3·t + 2)·(1/t))dt=

=LN(t + 2)/2 - LN(t + 1) + LN(t)/2

quindi:

LN(e^x + 2)/2 - LN(e^x + 1) + LN(e^x)/2+c=

=LN((e^x + 2)/(e^(2·x) + 2·e^x + 1))/2 + x/2 + c



0

Semplifichiamo l'integranda eliminando con una sostituzione gli esponenziali.

t=exdt=exdxdtt=dx

per cui

1(x+1)(x+2)dx=1t(t+1)(t+2)dt= 

Procediamo con la decomposizione 

1t(t+1)(t+2)=At+Bt+1+Ct+2

1=At2+3At+2A+Bt2+2Bt+Ct2+Ct dalla quale ricaviamo il sistema

{A+B+C=03A+2B+C=02A=1 
la soluzione è

  • A=12
  • B=1
  • C=12

per cui

=12tdt1t+1dt+12(t+2)dt=12ln|t|ln|t+1|+12ln|t+2|+c=12[ln|t|+ln|t+2|2ln|t+1|]+c=12[lnex+lnex+2(ex+1)2]+c=

=12[x+lnex+2e2x+2ex+1]+c



Risposta
SOS Matematica

4.6
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