Integrali riassuntivi.

∫(1/(e^(2·x) + 3·e^x + 2))dx=

pongo:

e^x = t---> x = LN(t)---> dx=1/t*dt

L'integrale diventa in t:

∫(1/(t^2 + 3·t + 2)·(1/t))dt=

con funzione integranda pari a:

1/(((t + 1)·(t + 2))·t) = a/(t + 2) + b/(t + 1) + c/t

1/(((t + 1)·(t + 2))·t) =

=(t^2·(a + b + c) + t·(a + 2·b + 3·c) + 2·c)/(t·(t + 1)·(t + 2))

Sistema:

{a + b + c = 0

{a + 2·b + 3·c = 0

{2·c = 1

Risolvo ed ottengo: [a = 1/2 ∧ b = -1 ∧ c = 1/2]

1/(((t + 1)·(t + 2))·t) = 1/(2·(t + 2)) - 1/(t + 1) + 1/(2·t)

∫(1/(t^2 + 3·t + 2)·(1/t))dt=

=LN(t + 2)/2 - LN(t + 1) + LN(t)/2

quindi:

LN(e^x + 2)/2 - LN(e^x + 1) + LN(e^x)/2+c=

=LN((e^x + 2)/(e^(2·x) + 2·e^x + 1))/2 + x/2 + c

Semplifichiamo l'integranda eliminando con una sostituzione gli esponenziali.

$ t = e^x \; ⇒ \; dt = e^x dx \; ⇒ \; \frac{dt}{t} = dx$

per cui

$ \int \frac{1}{(x+1)(x+2)} \, dx = \int \frac{1}{t(t+1)(t+2)}\cdot \, dt = \; ⊳ $ 

Procediamo con la decomposizione 

$ \frac{1}{t(t+1)(t+2)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t+1} + \frac{C}{t+2} $

$ 1 = At^2+3At+2A+ Bt^2+2Bt + Ct^2+Ct $ dalla quale ricaviamo il sistema

$ \left\{\begin{aligned} A+B+C &= 0 \\ 3A+2B+C &= 0\\ 2A &=1 \end{aligned} \right. $ 
la soluzione è

• $A = \frac{1}{2}$
• $B = -1$
• $C = \frac{1}{2} $

per cui

$ ⊳ \; = \int \frac{1}{2t} \, dt - \int \frac{1}{t+1} \, dt + \int \frac{1}{2(t+2)} \, dt = \frac{1}{2} ln|t| -  ln|t+1| + \frac{1}{2}ln|t+2| + c = \frac{1}{2}[ln|t| + ln|t+2| - 2ln|t+1|] + c = \frac{1}{2}[lne^x + ln\frac{e^x+2}{(e^x +1)^2}] + c =$

$ = \frac{1}{2}[x + ln\frac{e^x+2}{e^{2x}+2e^x+1}] + c  $