Spiega la tecnica utilizzata, perchè? E quindi il ragionamento.
Spiega la tecnica utilizzata, perchè? E quindi il ragionamento.
4046
punti
Livello 2
∫(1/(e^(2·x) + 3·e^x + 2))dx=
pongo:
e^x = t---> x = LN(t)---> dx=1/t*dt
L'integrale diventa in t:
∫(1/(t^2 + 3·t + 2)·(1/t))dt=
con funzione integranda pari a:
1/(((t + 1)·(t + 2))·t) = a/(t + 2) + b/(t + 1) + c/t
1/(((t + 1)·(t + 2))·t) =
=(t^2·(a + b + c) + t·(a + 2·b + 3·c) + 2·c)/(t·(t + 1)·(t + 2))
Sistema:
{a + b + c = 0
{a + 2·b + 3·c = 0
{2·c = 1
Risolvo ed ottengo: [a = 1/2 ∧ b = -1 ∧ c = 1/2]
1/(((t + 1)·(t + 2))·t) = 1/(2·(t + 2)) - 1/(t + 1) + 1/(2·t)
∫(1/(t^2 + 3·t + 2)·(1/t))dt=
=LN(t + 2)/2 - LN(t + 1) + LN(t)/2
quindi:
LN(e^x + 2)/2 - LN(e^x + 1) + LN(e^x)/2+c=
=LN((e^x + 2)/(e^(2·x) + 2·e^x + 1))/2 + x/2 + c
96730
punti
Genius II
