Integrali per parti.

Il primo è già risolto, risolvo l'ultimo che risulta essere il più difficile. In questo caso il prodotto è nascosto, nel senso che consideriamo l'integranda come 1*arcsin x.

$ \int arcsin x \, dx = $

• fattore finito $f(x) = arcsin x \; ⇒ \; f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $
• fattore differ. $g'(x) = 1 \; ⇒ \; g(x) = x $

$ = x\cdot arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = \, ⊳  $ 

Risolviamo l'integrale

$ -\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = $  

Per sostituzione. Poniamo $t = 1-x^2 \; ⇒ \; dt = -2x \, dx \; ⇒ \; -\frac{dt}{2} = x\,dx$

$ = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \, dt = \frac{1}{2} \int t^{-\frac{1}{2}} \, dt = t^{\frac{1}{2}} + c = \sqrt{1-x^2} + c $

per cui

$ ⊳ \, = x\cdot arcsin x + \sqrt{1-x^2} + c $