Integrali per parti.

∫f'(x) * g(x) dx = f(x) * g(x) - ∫f(x) * g'(x)

come fattore differenziale prendiamo  f'(x) = x^2;  f(x) = x^3 / 3;

come fattore finito prendiamo g(x) = ln(x) perché la sua  derivata è g'(x) = 1/x e quindi 

semplifica ∫f(x) * g'(x) ;

risposta C.

∫x^2 * ln(x) dx = x^3/3 * ln(x) - 1/3 *∫[x^3 * 1/x] dx =

= x^3/3 * ln(x) - 1/3 *∫[x^2] dx = 

= x^3/3 * ln(x) - 1/3 * x^3 / 3 + C = 

= x^3 / 3 * ln(x) - x^3 / 9 + C.

Ciao @alby

La risposta corretta è la c.

La ragione è semplice la derivata di $ln x = \frac{1}{x}$ quindi tale scelta ci libera di una funzione trascendente e ci riporta ad una funzione razionale fratta.

Risolviamolo

• fattore finito $f(x) = ln x \; ⇒\; f'(x) = \frac {1}{x}$
• fattore differ. $g'(x) = x^2 \; ⇒ \; g(x) = \frac {x^3}{3} $

$ \int x^2 \, ln x \, dx = \frac {x^3}{3} ln x - \frac {1}{3}\int x^2 \, dx = \frac {x^3}{3} ln x - \frac {1}{9} x^3 + c $