Spiegare i passaggi:
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Livello 2
Problema:
Trovare le primitive del seguente integrale:
$\int (\frac{x³-4x²-√x-1}{x})dx$
Soluzione:
L'integrale può essere scomposto tramite la proprietà delle frazioni come segue:
$\frac{A+B+C}{D+E}=\frac{A}{D+E} +\frac{B+C}{D+E}$ ovviamente si possono separare anche $B$ e $C$.
$\int (\frac{x³-4x²-√x-1}{x})dx=\int (\frac{x³}{x}-\frac{4x²}{x}-\frac{√x}{x}-\frac{1}{x})dx$
Applicando le proprietà delle potenze si ottiene:
$^n \sqrt{ a^m} = a^{\frac{m}{n}}$
$\frac{1}{n^a}=n^{-a}$
$\int (\frac{x³}{x}-\frac{4x²}{x}-\frac{√x}{x}-\frac{1}{x})dx=\int (x²-4x-x^{\frac{-1}{2}}-\frac{1}{x})dx$
Tramite la linearità dell'integrale e le primitive di funzioni elementari si ottiene:
(i) Linearità: $\int (f(x)+g(x))dx=\int f(x) dx + \int g(x) dx$
(ii) $\int x^a dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} +c$, ove $a,c \in \mathbb{R}$
(iii) $\int \frac{dx}{x} = \ln |x| +c$, ove $c \in \mathbb{R}$
$\int (x²-4x-x^{\frac{-1}{2}}-\frac{1}{x})dx=\frac{x³}{3}-2x²-2√x-\ln|x|+c, c \in \mathbb{R}$
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Livello 5
@rebc Grazie rebc, ottima spiegazione, grazie mille!