Integrali, metodi a confronto.

a. $ \int x^2 sin x^3 \, dx $

un fattore è la derivata, a meno di una costante, di x³, la miglior scelta è la sostituzione.

$ t = x^3 \; ⇒ \; dt = 3 x^2 dx  \; ⇒ \; x^2 dx = \frac{1}{3} dt $

$ \int x^2 sin x^3 \, dx = \frac{1}{3} \int sin t \, dt = -\frac{1}{3} cos t + c = -\frac{1}{3} cos x^3 + c  $

b.  $ \int x^3sin x^2 \, dx = \int x^2sin x^2  x\, dx$

Il riscritto suggerisce di operare per sostituzione. 

$ t = x^2 \; ⇒ \; dt = 2x \, dx \; ⇒ \; \frac{dt}{2} = x\, dx $

$ \int x^2sin x^2  x\, dx = \frac{1}{2} \int t sin t \, dt = \; ⊳ $   

• fattore finito $f(t) = t \; ⇒\; f'(t) = 1 $
• fattore differ. $g'(t) = sin t \; ⇒ \; g(t) = - cos t $

$ ⊳ \, = -\frac{1}{2}t cos t + \frac{1}{2}\int cos t \, dt = -\frac{1}{2}t cos t +\frac{1}{2} sin t + c  $

c.   $ \int sin x e^{cos x} \, dx = $

Ancora una volta compare come fattore la derivata, a meno di costanti, dell'esponente. Per sostituzione

$ t = cos x \; ⇒ \; dt = - sin x \, dx \; ⇒ \; sin x \, dx = - dt $

$ \int sin x e^{cos x} \, dx = - \int e^t \, dt = - e^t + c = - e^{cos t} + c $