Integrali, metodi a confronto.

a.  $ \int xe^{-x^2} \, dx $

Il fattore $e^{-x^2}$ ha una derivata non banale e un integrale non esprimibile in termine di funzioni elementari. Conviene operare con la sostituzione.

$ t = -x^2 \; ⇒ \; dt = -2x \, dx \; ⇒ \; x \, dx = -\frac{1}{2} \, dt $    per cui

$ \int xe^{-x^2} \, dx = - \frac{1}{2} \int e^t \, dt = - \frac{1}{2} e^t + c =  - \frac{1}{2} e^{-x^2} + c$ 

b.   $ \int x^2 e^{-x} \, dx $

Osserviamo che l'esponenziale non è elevato a un fattore quadrato, quindi si può integrare facilmente. D'altra parte è difficile vedere una sostituzione conveniente. Per parti.

• fattore finito $f(x) = x^2 \; ⇒\; f'(x) = 2x$
• fattore differ. $g'(x) = e^{-x} \; ⇒ \; g(x) = - e^{-x} $

$ \int x^2 e^{-x} \, dx  = - x^2e^{-x} + 2 \int x e^{-x} \, dx =$

ancora per sostituzione

• fattore finito $f(x) = x \; ⇒\; f'(x) = 1$
• fattore differ. $g'(x) = e^{-x} \; ⇒ \; g(x) = - e^{-x} $

$ = - x^2e^{-x} - 2xe^{-x} + 2\int e^{-x} \, dx = - x^2e^{-x} - 2xe^{-x} - 2 e^{-x} + c = - (x^2 + 2x + 2) e^{-x} + c $

c.  $ \int  x^3e^{x^4} \, dx $

Osserviamo che la derivata dell'esponente è, a meno di costanti, un fattore. Questo fatto ci suggerisce di procedere con la sostituzione. 

$ t = x^4 \; ⇒ \; dt = 4x^3 dx \; ⇒ \; x^3 dx = \frac {1}{4} dt $

$ \int x^3 e^{x^4} \, dx = \frac {1}{4}\int e^t dt = \frac {1}{4} e^t + c = \frac {1}{4} e^{x^4} + c$