Integrali, metodi a confronto.

a.

a.1.  Per sostituzione. 

$ \int x \sqrt{2x+5} , dx = $

Poniamo $ t = 2x+5 \; ⇒ \; x = \frac{t-5}{2} \; ⇒ \; dx = \frac{1}{2} dt = \frac{1}{4} \int (t-5)t^{\frac{1}{2}} , dt =$

$ = \frac{1}{4} \int (t^{\frac{3}{2}} - 5)t^{\frac{1}{2}} , dt = \frac{1}{4}[ \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} - 5\cdot \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}] + c = \frac{1}{10} t^{\frac{5}{2}} -\frac{5}{6} t^{\frac{3}{2}} + c = t^{\frac{3}{2}} [\frac{1}{10} t -\frac{5}{6}] + c =$

$ =   (2x+5)^{\frac{3}{2}}[\frac{1}{10} (2x+5) -\frac{5}{6}] + c = (2x+5)^{\frac{3}{2}}\frac{1}{30} (6x-10) + c = (2x+5)^{\frac{3}{2}}\frac{1}{15} (3x-5) + c $

a.2 Per parti.

• fattore finito $f(x) = x \; ⇒\; f'(x) = 1$
• fattore differ. $g'(x) = \sqrt{2x+5} \; ⇒ \; g(x) = \frac{1}{3} (2x+5)^{\frac{3}{2}} $

per cui

$ \int x \sqrt{2x+5} , dx =  \frac{x}{3} (2x+5)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} \int (2x+5)^{\frac{3}{2}} , dx = \frac{x}{3} (2x+5)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6}\frac{2}{5}(2x+5)^{\frac{5}{2}} + c =$

$ = \frac{x}{3} (2x+5)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{15}(2x+5)^{\frac{5}{2}} + c = \frac{1}{15}(2x+5)^{\frac{3}{2}}[ 5x-(2x+5) + c =  \frac{1}{15}(2x+5)^{\frac{3}{2}}(3x-5) + c $

Il caso b.  è indirizzato dai suggerimenti. Si tratta quindi di impegnare un po' di tempo e molta attenzione.