Integrali, metodi a confronto.

Metodo a.

Come suggerito, per parti.

• fattore finito $f(x) = sin x \; ⇒\; f'(x) = cos x $
• fattore differ. $g'(x) = sin x \; ⇒ \; g(x) = - cos x $

$ \int sin^2 x \, dx = -sin xcos x + \int cos^2 x \, dx = -sin xcos x + \int 1- sin^2 x \, dx $

$ \int sin^2 x \, dx  = -sin xcos x + x - \int  sin^2 x \, dx $

due semplici passaggi algebrici

$ 2 \int sin^2 x \, dx = x - sin xcos x   $

$  \int sin^2 x \, dx = \frac{x - sin xcos x}{2} + c  $

b. Richiamiamo l'identità goniometrica suggerita

$ sin^2 x = \frac{1-cos 2x}{2} $ per cui

$ \int sin^2 x \, dx = \frac{1}{2} \int 1 - cos 2x \, dx = ⊳ $

per sostituzione. $ t = 2x \; ⇒ \; \frac{1}{2} dt = dx $ per cui

$ ⊳ = \frac{1}{4} \int 1 - cos t \, dt = \frac{1}{4} (t - sin t) + c = \frac{1}{4} (2x - sin 2x) + c = \frac{1}{4} (2x - 2sin x cosx) + c $

$  \int sin^2 x \, dx = \frac{1}{2} (x - sin x cosx) + c $

Ovviamente, lo stesso risultato.