Integrali indefiniti.

ʃ [sen 2x ]/ [(senx)^2 + 1] dx;

sen 2x = 2 sen x cos x;

la derivata di (senx)^2 + 1 è 2 sen x cosx;

quindi al numeratore c'è la derivata del denominatore.

ʃ [sen 2x ]/ [(senx)^2 + 1] dx = ln[(sen x)^2 + 1] + C;

infatti se fai la derivata di ln[(sen x)^2 + 1] ottieni:

1 / [(sen x)^2 + 1]  * [2 sen x cos x] = [sen 2x ]/ [(senx)^2 + 1].

ciao @alby

Per la formula di duplicazione possiamo riscriverlo

S 2 sin x cos x/( sin^2(x) + 1) ) dx

Ora notiamo che se u(x) = sin^2(x) + 1

u'(x) = 2 sin x cos x

Allora S u'(x)/u(x) dx = ln | u(x) | + C =

= ln ( sin^2(x) + 1 ) + C

Riscriviamo il numeratore come

$ \int \frac{2sin x cos x}{sin^2 x +1} \, dx = $

Il numeratore è esattamente la derivata del denominatore, quindi è un integrale notevole

= $ ln|sin^2 x +1 | + c = ln ( sin^2 x +1) + c $

Osserviamo che l'argomento dl logaritmo è positivo quindi possiamo togliere il simbolo di valore assoluto.