Integrali Indefiniti.

a. Falso. Mettiamo a confronto le derivate delle prime due 

• $ F(x) = \frac{x}{x+1} \; ⇒ \; f(x) = \frac{d F(x)}{dx} = \frac{1}{(x+1)^2}$ 
• $ F(x) = \frac{3x+2}{x+1} \; ⇒ \; f(x) = \frac{d F(x)}{dx} = \frac{2}{(x+1)^2}$ 
• Le due funzioni non differiscono per una costante.

b.  Vero. Perché la soluzione analitica è un insieme di funzioni che differiscono per una costante. 

c.  Falso. La derivata di una primitiva coincide con la funzione integranda.

d.  Falso. prendiamo $f(x) = x  \; ⇒ \; \int f'(x)\sqrt{x} = \frac{2}{3}\sqrt{x^3}$

e.  Falso. Va diviso per ω

f.  Falso. $ x\sqrt{x} = x^{\frac{3}{2}} $ e questo è un integrale immediato

g. Vero. La primitive sono tutte e sole le soluzione dell'integrale. Esse differiscono per una costante.   

Indichiamo con F₁(x), F₂(x) due differenti primitive della funzione data, Per la proprietà enunciata

F₁(x) = F₂(x) + c

Se imponiamo che passino entrambe per l'Origine si avrebbe

F₁(0) = F₂(0) + c

0 = 0 + c 

per cui c = 0 e le due funzioni sono eguali

F₁(0) = F₂(0) + 0

e questo è un assurdo visto che le abbiamo scelte diverse.