Integrali indefiniti.

Il logaritmo isolato suggerisce di risolverlo per parti dove la funzione g'(x) = 1. Infatti

• fattore finito $f(x) = ln \left(\frac{x}{x-2}\right) \; ⇒\; f'(x) = -\frac{2}{x(x-2)}$
• fattore differ. $g'(x) = 1 \; ⇒ \; g(x) = x $

applichiamo la formula generale degli integrali per parti

$ \int f(x)g'(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \, dx $

$ \int ln \left( \frac{x}{x-2}\right) \, dx = x \cdot \left(\frac{x}{x-2}\right) + 2 \int \frac{1}{x-2} dx = ⊳ $

Poniamo $ t = x-2 \; ⇒ \; dt = dx $ 

$ ⊳ = x \cdot ln \left(\frac{x}{x-2}\right) + 2 \int \frac{1}{t} \, dt =$

$ =  x \cdot ln\left(\frac{x}{x-2}\right) + 2 ln|t| + c =$

$ =  x \cdot ln\left(\frac{x}{x-2}\right) + 2 ln|x-2| + c =$

$ =  x \cdot ln\left(\frac{x}{x-2}\right) - 2 ln \frac{1}{|x-2|} + c =$