Integrali indefiniti.

Problema:

Si calcoli il seguente integrale indefinito:

$\int x \sin 3x dx$

Soluzione:

L'integrale dato può essere calcolato mediante integrazione per parti dato che è composto da due funzioni distinte.

Quando si utilizza la formula di integrazione per parti, l'obbiettivo è tenere all'interno dell'integrale una sola funzione facilmente integrabile, da ciò segue che l'unico modo per tenere una sola funzione integranda è considerare la derivata di $x$ all'interno dell'integrale. 

$f'=\sin 3x$

$g=x$

$\int x \sin 3x dx = x(-\frac{ \cos 3x}{3}) - \int \frac{-\cos 3x}{3} dx$

Per risolvere il secondo integrale è opportuno, all'inizio, sostituire $3x=u \rightarrow 3dx=du$:

$-\frac{x \cos 3x}{3} +\frac{1}{3} \int \cos u \frac{du}{3}= -\frac{x \cos 3x}{3} + \frac{ \sin u}{9} +c = -\frac{ \cos 3x}{3}+ \frac{ \sin 3x}{9} +c$, ove $c \in \mathbb{R}$

 ∫x (sen3x) dx; 

integrazione per parti:  ∫ f'(x) * g(x) dx = f(x) * g(x) - ∫ f(x) * g'(x) dx;

sen3x = f'(x);

x = g(x); 

l'integrale di sen3x è (- cos3x) /3;      la derivata di x è 1.

 ∫x (sen3x) dx = - (cos3x) /3 * x -  ∫(- cos3x)/3 * 1 dx = 

= - (cos3x) /3 * x  + 1/3 * (sen3x) /3 + C =

= 1/9 * (sen3x) - 1/3 * x * (cos3x).

Ciao  @alby