Spiegare i passaggi.
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3382
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Livello 2
Problema:
Si calcoli il seguente integrale indefinito:
$\int x \sin 3x dx$
Soluzione:
L'integrale dato può essere calcolato mediante integrazione per parti dato che è composto da due funzioni distinte.
Quando si utilizza la formula di integrazione per parti, l'obbiettivo è tenere all'interno dell'integrale una sola funzione facilmente integrabile, da ciò segue che l'unico modo per tenere una sola funzione integranda è considerare la derivata di $x$ all'interno dell'integrale.
$f'=\sin 3x$
$g=x$
Integrazione per parti: $\int f'g = fg - \int fg'$
$\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$
$\int \cos x dx = \sin x +c$
$\int \sin x dx= -\cos x +c$
$\int x \sin 3x dx = x(-\frac{ \cos 3x}{3}) - \int \frac{-\cos 3x}{3} dx$
Per risolvere il secondo integrale è opportuno, all'inizio, sostituire $3x=u \rightarrow 3dx=du$:
$-\frac{x \cos 3x}{3} +\frac{1}{3} \int \cos u \frac{du}{3}= -\frac{x \cos 3x}{3} + \frac{ \sin u}{9} +c = -\frac{ \cos 3x}{3}+ \frac{ \sin 3x}{9} +c$, ove $c \in \mathbb{R}$
3360
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Livello 5