[Risolto] Integrali impropri

$ f(x) = \frac{1}{x^2arctan(\frac{x}{x+2})}$

• Dominio f(x) = ℝ {-2, 0}

.

a.  Calcolare $ \displaystyle\int_{-1}^0 \, f(x) \, dx$

Si tratta di un integrale improprio con un solo problema in x = 0 dove la funzione f(x) diverge a -∞.

Applichiamo la convergenza asintotica per x → 0

$  \frac{1}{x^2arctan(\frac{x}{x+2})} \approx \frac {1}{x^3}$

Così possiamo concludere che tale integrale è divergente a -∞

.

b.  Calcolare $ \displaystyle\int_{-2}^{+\infty} \, f(x) \, dx$

Osserviamo che:

1. $\displaystyle\lim_{x \to -2^-} f(x) = \frac{1}{2\pi}.$ quindi la funzione è limitata, in un opportuno intorno destro di -2.
2. La funzione diverge a +∞ per x → 0⁺
3. Usando la convergenza asintotica introdotta precedentemente possiamo concludere che 

$ \displaystyle\int_{0}^1 \, f(x) \, dx$ divergerà a +∞.

Spezziamo l'integrale da calcolare in

$ \displaystyle\int_{-2}^{+\infty} \, f(x) \, dx = \displaystyle\int_{-2}^{0^-} \, f(x) \, dx + \displaystyle\int_{0^+}^{+\infty} \, f(x) \, dx $

Il primo integrale sul lato destro diverge a -∞, il secondo a +∞; possiamo così concludere che l'integrale a sinistra è indeterminato.

\[\int_{-1}^{0^-} \frac{1}{x^2} \arctan{\left(\frac{x}{x + 2}\right)}\: dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{-1}^{-\varepsilon}\frac{1}{x^2} \arctan{\left(\frac{x}{x + 2}\right)}\: dx\,.\]

Asintoticamente, utilizzando i sviluppi in serie di Taylor-Maclaurin:

\[\forall x \in I_{\delta}^{-}(0) \quad \frac{x}{x + 2} \overset{x \rightarrow 0^-}{\approx} \frac{x}{2} \implies \arctan{\left(\frac{x}{2}\right)} \overset{x \rightarrow 0^-}{\approx} \frac{x}{2}\,;\]

allora

\[\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{-1}^{-\varepsilon} \frac{1}{2x}\:dx = -\infty\,.\]

Dunque diverge negativamente.

\[\int_{-2}^{\infty} \frac{1}{x^2} \arctan{\left(\frac{x}{x + 2}\right)}\: dx =\]

\[= \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left(\int_{-2 + \varepsilon}^{\phi} \frac{1}{x^2} \arctan{\left(\frac{x}{x + 2}\right)}\: dx + \int_{\phi}^{\infty} \frac{1}{x^2} \arctan{\left(\frac{x}{x + 2}\right)}\: dx\right)\,.\]

Prosegui con lo studio della convergenza. Facendo una valutazione qualitativa, dovrebbe essere indeterminata la somma, non convergendo conseguentemente.

Dovrebbe essere laborioso ma semplice.

Calcoli la primitiva per parti scegliendo l'arcotangente come fattore differenziale g'

seguita da una decomposizione in Fratti semplici

che non posso scrivere per esteso perché non ho il computer e ci vorrebbe mezza giornata

e poi determinerai i limiti.

F(x,C) = -1/x * arctg(x/(x+2)) + 1/2 ln|x| +

- 1/4 ln(x^2+2x+2) - 1/2 arctg(x+1) + C

LA STITICHEZZA PARENTETICA E OPERATORIA GENERA ESPRESSIONI EQUIVOCHE.
E' UN VERO PECCATO CHE AL LICEO NON S'INSEGNINO PIU'
* L'USO CORRETTO DELLE PARENTESI (d'ogni tipo: [], {}, <>, ||)
* LA CORRETTA SINTASSI DELLE ESPRESSIONI
Vedi
http://www.wolframalpha.com/input?i=f%28x%29%3D+1%2Fx%5E2+arctan+%28x%2Fx--2%29