Risolvere senza la tecnica X SOSTITUZIONE.
Spiegare gentilmente i passaggi e il ragionamento.
Risolvere senza la tecnica X SOSTITUZIONE.
Spiegare gentilmente i passaggi e il ragionamento.
6789
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Livello 2
Problema:
Si individui il valore del seguente integrale:
$\int_0^{+∞} \frac{1}{\sqrt{e^x-1}}dx$
Soluzione:
Non mi vengono in mente metodi elementari per determinare l'integrale senza sostituzione.
$t=\sqrt{e^x-1}, e^x=t²+1 \rightarrow dt=\frac{e^xdx}{2\sqrt{e^x-1}}, dx= \frac{2dt\sqrt{e^x-1}}{e^x}$
Sostituendo:
$\int_0^{+∞} \frac{1}{\sqrt{e^x-1}}dx=\int_0^{+∞} \frac{1}{t}\frac{2dt\sqrt{e^x-1}}{e^x}=\int_0^{+∞} \frac{1}{t}\frac{2tdt}{t²+1}=\int_0^{+∞} \frac{2dt}{t²+1}=[2\arctan t]_0^{+∞}=2\frac{π}{2}=π$.
3572
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Livello 5