Integrali impropri

E' improprio poiché la funzione logaritmica non è limitata in prossimità dello 0.

Affrontiamo l'indefinito solo per semplificare la notazione

$ \int x^2 \cdot ln(x) \, dx = $

La presenza del logaritmo ci suggerisce di provare con la tecnica di integrazione per parti.

• fattore finito $ f(x) = ln\,x \; ⇒ \; f'(x) = \frac{1}{x} $
• fattore differ. $ g'(x) = x^2 \; ⇒ \; g(x) = \frac{x^3}{3} $

$ = \frac{x^3}{3} ln x- \int \frac{x^2}{3} \, dx =$

$ = \frac{x^3}{3} ln x -  \frac{x^3}{9} +c $

Passiamo all'improprio

$  \displaystyle\lim_{b \to 0^+} \int_b^1 x^2 \cdot ln(x) \, dx = $

$ = \displaystyle\lim_{b \to 0^+} \left. \frac{x^3}{3} ln x-  \frac{x^3}{9} \right|_b^1 =$

$ =\displaystyle\lim_{b \to 0^+}  -  \frac{1}{9} - \frac{b^3}{3} ln b + \frac{b^3}{9} = $

$ = -  \frac{1}{9} -0 + 0 = -  \frac{1}{9}$