Integrali impropri

Problema:

Determina per quale valore di $k$ l'integrale $\int_0^{+∞} (\frac{x}{2x²+1}-\frac{k}{x+4})dx$ converge. In corrispondenza di questo valore di $k$, calcola l'integrale.

Soluzione:

Per la linearità dell'integrale si ha:

$\int_0^{+∞} (\frac{x}{2x²+1}-\frac{k}{x+4})dx=\int_0^{+∞} \frac{x}{2x²+1}dx-\int_0^{+∞}\frac{k}{x+4})dx=[\frac{\ln|2x²+1|}{4}-k\ln|x+4|]_0^{+∞}=[\frac{\ln|(2x²+1)^\frac{1}{4}}{\ln|(x+4)^k|}]_0^{+∞}$

Si ha dunque $F(0)=0$ e $\lim_{a \rightarrow +∞}F(a)\approx \lim_{a \rightarrow +∞}\frac{\ln|(2a²)^{\frac{1}{4}}}{\ln|a^k|} \approx \lim_{a \rightarrow +∞} \frac{\ln|c√a|}{\ln|a^k|}$

$F(a)$ ha valore finito solo per $k=\frac{1}{2}$, la convergenza di $F(a)$, in questo caso, implica la convergenza dell'integrale dato.

$\int_0^{+∞} (\frac{x}{2x²+1}-\frac{\frac{1}{2}}{x+4})dx=\lim_{a \rightarrow +∞} \frac{\ln|2a²+1|}{4}-\frac{\ln|a+4|}{2}=\frac{5\ln2}{4}$