Integrali impropri

$ = \int_0^3 \frac{1}{(x-3)(x+3)} \, dx = $

Operiamo con la tecnica di decomposizione della funzione integranda dalla quale ricaviamo

$ 1 = Ax + 3A - Bx+3B $

per il principio di identità dei polinomi si ottiene il sistema

$ \left\{\begin{aligned} A+B &= 0 \\ 3A-3B &= 1 \end{aligned} \right. $

le sui soluzioni sono

• • $ A =  \frac{1}{6} $
  • $ B = -\frac{1}{6}$

 L'integrale dato si riduce così nella somma

$ = \frac{1}{6} \int_0^3 \frac{1}{x-3} \, dx  - \frac{1}{6} \int_0^3 \frac{1}{x+3} \, dx = $

Sviluppiamo separatamente i due integrali.

Nel primo la funzione integranda tende a -∞, si tratta di un integrale improprio. Applichiamo la definizione

$ \frac{1}{6} \displaystyle\lim_{t \to 3^-} \int_0^t \frac{1}{x-3} \, dx =$

$ \frac{1}{6} \displaystyle\lim_{t \to 3^-} \left. ln|x-3| \right|_0^t =$ 

$ \frac{1}{6} \displaystyle\lim_{t \to 3^-} ln|t-3| - ln(3) = -\infty$

Il primo integrale diverge.

Nel secondo la funzione integranda è limitata come lo è il dominio di integrazione, quindi il risultato è un numero reale, che non è il caso di calcolare visto che il prilmo integrale diverge.

La loro somma divergerà.