Integrali Frazionari.

Si deve procedere con la divisione, oppure per questo caso possiamo ottenere lo stesso risultato sommando e sottraendo 4.

$ \frac{x^2+4-4}{x^2+4} = 1 -\frac{4}{x^2+4} $

Procediamo con l'integrazione

$ \int \frac{x^2}{x^2+4} \, dx = \int 1 \, dx - 4 \int \frac{1}{x^2+4} = $

mettiamo in evidenza il 4

$ x - 4\int \frac{1}{4(\frac{x}{2})^2+1} \, dx = x - \int \frac{1}{(\frac{x}{2})^2+1} \, dx = x - \int \frac{1}{(\frac{x}{2})^2+1} \, 2 \cdot d(\frac{x}{2}) = x - 2 arctan(\frac{x}{2}) + c $

Nell'ultimo passaggio abbiamo usato un certo abuso di notazione ma comunque lecito, che ha evitato il lungo discorso relativo alla sostituzione. Inutile dire che se non piace si può procedere con la classica sostituzione $t = \frac{x}{2}$.