Integrali frazionari.

Lo svolgo in modalità cartacea cercando di spiegare tutti i passaggi.

Il determinante del trinomio al denominatore è positivo quindi lo possiamo fattorizzare.

$ \int \frac {x^2-1}{(x+2)(x-5)} \, dx = $  

Procediamo con la divisione e di seguito con la decomposizione del resto

$ (x^2-1):((x+2)(x-5)) = 1 +  \frac{3x+9}{(x+2)(x-5)} $

Decomposizione del resto

$ \frac{3x+9}{(x+2)(x-5)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-5} $

$ 3x+9 = Ax-5A +Bx+2B $ dalla quale ricaviamo il sistema

$ \left\{\begin{aligned} A+B &= 3 \\ 2B-5A &= 9 \end{aligned} \right. $ 
la soluzione è

• $A = -\frac{3}{7}$
• $B = \frac{24}{7}$

per cui

$ \int \frac {x^2-1}{(x+2)(x-5)} \, dx = \int 1 \, dx  -\frac{3}{7} \int \frac{1}{x+2} + \frac{24}{7} \int \frac {1}{x-5} = x - \frac{3}{7} ln|x+2| + \frac{24}{7} ln|x-5| + c $