[Risolto] Integrali e funzioni

Comincio a svolgere i punti a e b (mi sembra lungo!)

a ) Abbiamo la funzione: f(x) = a + b·SIN(x) di cui bisogna ricavare tutte le primitive F(x). Quindi calcoliamo:

F(x) = ∫ (a + b·SIN(x)) dx = a·x - b·COS(x) + c

I parametri a e c si devono valutare dal grafico dato.

Deve essere:

a>0  e inoltre c>0 affinché F(x) segua un andamento crescente (la funzione cosinusoide ondeggia sulla retta y=ax+c che risulta crescente) ed avente ordinata all'origine positiva (c>0)

b) Ascisse dei minimi relativi

y'= f(x) =0-----> C.N. :  b·SIN(x) + a =0 in x = 13/6·pi

b·SIN(13/6·pi) + a = 0----> a + b/2 = 0-----> b = - 2·a

a·x - (- 2·a)·COS(x) + c

F(x) = a·x + 2·a·COS(x) + c

a > 0; c > 0

a - 2·a·SIN(x) = 0----> SIN(x) = 1/2

quindi: x = 5·pi/6 ∨ x = pi/6

per il primo valore si ha:

F''(pi/6)= - 2·a·COS(5·pi/6) = √3·a >0

Quindi minimi relativi in 

x = 5·pi/6 + 2·k·pi

mentre non si ha invece per l'altro valore ottenuto:

F''(pi/6) = - 2·a·COS(pi/6) = - √3·a <0

(per questo valore e per quelli che si ripetono periodicamente (T=2 k *pi) si ha un max relativo.