Spiegare i passaggi.
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Livello 2
Al numeratore compare una funzione simile alla derivata del numeratore. Poniamo $ t = e^{2x}+ 4x$ differenziando $ dt = 2e^{2x}+ 4 dx \; ⇒ \; dt = 2(e^{2x}+ 2) dx \; ⇒ \; \frac{dt}{2} = (e^{2x}+ 2) dx $
Sostituendo
$ \int \frac {(e^{2x}+ 2)}{(e^{2x}+ 4x)} \, dx = \int \frac{1}{2} \frac{1}{t} \, dt = \frac{1}{2} ln|e^{2x}+ 4x| + c $
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Livello 3
∫((e^(2·x) + 2)/(e^(2·x) + 4·x))dx = ???
Riconosco che:
∫(F'(x)/F(x))dx= LN|F(x)|
Nel nostro caso:
F(x)=e^(2·x) + 4·x----> F'(x)=2·e^(2·x) + 4 = 2(e^(2·x) + 2)
Quindi:
∫((e^(2·x) + 2)/(e^(2·x) + 4·x))dx = LN(e^(2·x) + 4·x)/2 + c
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Genius II