Integrali con parametro

∫(1/(x^2 + a^2))dx=

=ATAN(x/a)/a

Quindi:

LIM(ATAN(x/a)/a) = pi/(2·ABS(a))

x---> +∞

LIM(ATAN(x/a)/a) =- pi/(2·ABS(a))

x---> -∞

Risulta:

pi/(2·ABS(a)) + pi/(2·ABS(a)) = pi/ABS(a)

da cui:

pi/ABS(a) = 2·pi---> a = - 1/2 ∨ a = 1/2

Li dominio di integrazione non è limitato de a destra ne a sinistra, occorre spezzarlo in due parti

$ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{x^2+a^2} \, dx = \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{x^2+a^2} \, dx + \int_0^{+\infty} \frac{1}{x^2+a^2} \, dx = $

Notiamo che la funzione integranda è pari quindi basterà un solo calcolo integrale

$ =  2 \int_0^{+\infty} \frac{1}{x^2+a^2} \, dx = $

Applichiamo la definizione 

$ = 2 \displaystyle\lim_{b \to +\infty} \int_0^b \frac{1}{x^2+a^2} \, dx = $

notiamo che l'integrale è del tipo immediato, 

$ = 2 \displaystyle\lim_{b \to +\infty} \left. \frac{1}{a}arctan(\frac{x}{a}) \right|_0^b =$

$ 2 \frac{1}{a} \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{a} $

Imponiamo l'uguaglianza

$ \frac{\pi}{a} = 2\pi $

$ a = \frac{1}{2} $

La funzione integranda è pari quindi, per simmetria è valida anche l'opposta per cui

$ a = \pm \frac{1}{2} $