Integrali con parametro.

L'integrale dato è:
[ \int_{-1}^{a} \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx = 4 ]
Possiamo riscrivere l'integrale come:
[ \int_{-1}^{a} (x+1)^{-1/2} dx = 4 ]
Ora troviamo l'integrale indefinito:
[ \int (x+1)^{-1/2} dx ]
Usiamo la regola della potenza per l'integrazione:
[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ]
Quindi, nel nostro caso, con n = -1/2, abbiamo:
[ \int (x+1)^{-1/2} dx = \frac{(x+1)^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = \frac{(x+1)^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x+1} + C ]
Ora calcoliamo l'integrale definito:
[ \left[ 2\sqrt{x+1} \right]_{-1}^{a} = 4 ]
Sostituiamo i limiti di integrazione:
[ 2\sqrt{a+1} - 2\sqrt{-1+1} = 4 ]
[ 2\sqrt{a+1} - 2\sqrt{0} = 4 ]
[ 2\sqrt{a+1} - 0 = 4 ]
[ 2\sqrt{a+1} = 4 ]
Dividiamo entrambi i lati per 2:
[ \sqrt{a+1} = 2 ]
Eleviamo al quadrato entrambi i lati:
[ a+1 = 4 ]
Sottraiamo 1 da entrambi i lati:
[ a = 3 ]
Quindi, il valore di a è 3.
Risposta: a = 3