Integrali

$ f^{(2)} (x) = e^{2x-1} $

Per sostituzione poniamo $ t = 2x \;⇒ \; \frac{1}{2} dt = dx $

La derivata prima è una primitiva della derivata seconda per cui

$ f'(x) =  \int \frac{1}{e} e^{2x} \, dx = \frac{1}{e} \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2e} \int e^t \, dt = \frac{1}{2e} e^t + c = \frac{1}{2e} e^{2x} + c$

Dobbiamo scegliere tra le primitive quella che soddisfa

$ f'(\frac{1}{2}) = 0  \;⇒ \;  \frac{1}{2} + c = 0 \;⇒ \; c = - \frac{1}{2} $

La nostra derivata prima è quindi

$ \hat f'(x) = \frac{1}{2e} e^{2x} - \frac{1}{2} $

La funzione f(x) è una primitiva della sua derivata prima quindi 

$ f(x) = \int \frac{1}{2e} e^{2x} \, dx - \int \frac{1}{2} \, dx $

$ f(x) = \frac{1}{2e} \int e^{2x} \, dx -  \frac{1}{2} x + c $

$ f(x) = \frac{1}{4e} e^{2x} - \frac{1}{2} x + c $  (integrale già fatto in precedenza)

Cerchiamo tra le primitive quella che

$f(\frac{1}{2}) = 3  \;⇒ \; \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + c = 3 \;⇒ \; c = 3 $

La funzione che cerchiamo è

$ f(x) = \frac{1}{4e} e^{2x} - \frac{1}{2} x + 3 $