Determina la primitiva $F(x)$ della funzione $f(x)=e^x \sin e^x$ che ha come asintoto orizzontale sinistro la retta di equazione $y=2$.
$$
\left[F(x)=3-\cos e^7\right]
$$
Spiegare i passaggi.
Determina la primitiva $F(x)$ della funzione $f(x)=e^x \sin e^x$ che ha come asintoto orizzontale sinistro la retta di equazione $y=2$.
$$
\left[F(x)=3-\cos e^7\right]
$$
Spiegare i passaggi.
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Livello 2
Per sostituzione $ t = e^x \; ⇒ \; dt = e^x dx \; ⇒ \; dt = t dx \; ⇒ \; \frac{1}{t}dt = dx $
$F(x) = \int e^x\cdot sin e^x \, dx = \int \frac{t}{t} sin t \, dt = - cos t + c = - cos e^x + c $
Dobbiamo determinare il valore di c. Sappiamo che la particolare primitiva ha un asintoto orizzontale con le caratteristiche espresse nel testo cioè
$ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} F(x) = 2 $
$ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} - cos e^x + c = 2 $
$ - 1 + c = 2 \; ⇒ \; c= 3$
La primitiva cercata $ \hat F(x) = 3 - cos e^x $
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Livello 5
Le primitive sono della forma
- cos e^x + C
per cui passando al limite per x
tendente a -oo
- cos 0 + C = 2
C = 3
e la primitiva richiesta è
F*(x) = 3 - cos e^x
50962
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Livello 7