Determina la primitiva $F(x)$ della funzione $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$ tale che $F(0)=1$.
Spiegare i passaggi.
Determina la primitiva $F(x)$ della funzione $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$ tale che $F(0)=1$.
Spiegare i passaggi.
3435
punti
Livello 2
Per sostituzione.
$ t = x^2 + 4 \; ⇒ \; dt = 2x \, dx \; ⇒ \; \frac{1}{2} dt = x \, dx $
$F(x) = \int \frac{x}{\sqrt{x^2+4}} \, dx = \frac{1}{2}\int t^{-\frac{1}{2}} \, dt = t^{\frac{1}{2}} + c = \sqrt{x^2+4} + c $
determiniamo per quale valore di c si ha
$F(0) = 1$
$ \sqrt{4} + c = 1 \; ⇒ \; c = -1 $
La primitiva cercata è quindi $ \hat F(x) = \sqrt{x^2+4} - 1 $
10881
punti
Livello 3
@cmc Grazie mille cmc!