Spiegare i passaggi.
Spiegare i passaggi.
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Livello 2
Osserviamo che, nel testo, compare la funzione logaritmica e la sua derivata; operiamo, quindi per sostituzione.
$ t = ln x \; ⇒ \; dt = \frac {1}{x} dx $
Sostituendo
$ F(x) = \int \frac{\sqrt{ln x}}{x} \, dx = \int \sqrt{t} \, dt = \int t^{\frac{1}{2}} \, dt = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + c = \frac{2}{3} (ln x)^{\frac{3}{2}} + c = \frac{2}{3} \sqrt{ln^3 x} + c $
Rimane da determinare il valore da assegnare a c affinché
$ F(e) = 1 \; ⇒ \; \frac{2}{3} \sqrt{ln^3 e} + c = 1 $
$ c = 1 - \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} $
La primitiva cercata è $ F(x) = \frac{2}{3} \sqrt{ln^3 x} + \frac{1}{3} $
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Livello 3