Integrali

Soluzione a)

Soluzione b)

a. Prima sostituzione.

$ t = \sqrt{x+3} \; ⇒ \; x = t^2 - 3 $  inoltre differenziando

$ dt = \frac {1}{2\sqrt{x+3}} dx \; ⇒ \;2tdt = dx $

Sostituendo

$ \int (t^2-3)t \cdot 2t \, dt = 2 \int t^4 -3t^2 \, dt = 2[\frac{t^5}{5}- t^3] + c = \frac{2}{5}[t^5-5t^3] + c = \frac{2}{5}t^3[t^2-5] + c = \frac{2}{5}(x+3)^{\frac{3}{2}} [x+3-5] + c = \frac{2}{5}(x+3)^{\frac{3}{2}} (x-2) + c  $

a. Seconda sostituzione.

$ u = x+3 \; ⇒ \; x = u - 3 $  inoltre differenziando    $ dx = du $

Sostituendo

$ \int (u-3)\sqrt{u} \, du = \int (u-3)u^{\frac{1}{2}} \, du = \int u^{\frac{3}{2}} - 3 u^{\frac{1}{2}} \, du =\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}} - 2u^{\frac{3}{2}} + c = \frac{2}{5}u^{\frac{3}{2}} u - 2u^{\frac{3}{2}} + c = \frac{2}{5}u^{\frac{3}{2}} [u-5] + c = \frac{2}{5}(x+3)^{\frac{3}{2}} (x-2) + c $

Ovviamente il risultato è indipendente dalla sostituzione scelta.

b.  E' del tutto analogo al caso a. Nonostante la falsa riga è un ottimo esercizio.