iNTEGRALI

Question

[attach]107838[/attach] Risolvere SENZA la tecnica X SOSTITUZIONE. Risolvere CON la tecnica X SOSTITUZIONE. Spiegare gentilmente e argomentare i passaggi.

cmc · Answer

Senza. $  int  frac {1}{x^2+x+3} , dx = ⊳ $ il trinomio ha discriminante negativo Δ = -11, non possiamo quindi usare la tecnica di decomposizione. Usiamo la tecnica del completamento del quadrato. Per avere 1 come coefficiente della x è necessario che il termine numerico dovrà essere 1/2 $ x^2+x+ frac {1}{4} -  frac {1}{4} + 3$ $ (x+ frac {1}{2})^2 +  frac {11}{4}    $ ⊳ =  int  frac {1}{((x+ frac {1}{2})^2 +  frac {11}{4})} , dx = ⊳  $ ma questo è un integrale immediato del tipo $  int  frac {1}{x^2+m^2} , dx =  frac {1}{m} arctan{ frac {x}{m}} dove m =  frac { sqrt {11}}{2}   $ ⊳ =  frac {2}{ sqrt {11}} arctan ( frac {x+ frac {1}{2}}{ frac { sqrt {11}}{2}}) =$ $ =  frac {2}{ sqrt {11}} arctan ( frac {2x+1}{ sqrt {11}}) $

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