Integrali

Question

Argomentare e dimostrare: [attach]94231[/attach]

EidosM · Accepted Answer

Perché ln kx = ln k + ln x = ln x + C

cmc · Answer

Occorre rispondere a due domande:

Le primitive di f(x) = \frac {1}{x} in ℝ⁺ sono della forma F(x) = lnx + c; con c∈ℝ
Le primitive possono essere espresse come F(x) = ln(kx); con k∈ℝ⁺

1. F(x) + c sono primitive di f(x).

Procediamo con la verifica derivando F(x)

$ \dfrac{dF(x)}{dx} = \dfrac{d(\frac{1}{x})}{dx} = ln|x| + c = ln x + c $

nota siamo in (0, +∞).

Che siano tutte e sole c'è un teorema a riguardo, che ovviamente non riporto.

.

2. F(x) = ln x + c è equivalente F(x) = ln(kx). Infatti, per la proprietà dei logaritmi

$ F(x) = ln(kx) = ln k + ln x = c + ln x$

ln k è un numero reale quindi basta porre c = ln k

cmc

(@cmc)

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30/10/2024 11:10