iNTEGRALI

$ \int ln(1+x^2) \, dx =$

La presenza di un logaritmo ci suggerisce di provare con la tecnica di integrazione per parti.

• fattore finito $ f(x) = ln(1+x^2) \; ⇒ \; f'(x) = \frac{2x}{1+x^2} $
• fattore differ. $ g'(x) = 1 \; ⇒ \; g(x) = x $

per cui

$ = x \cdot ln(1+x^2) - 2[\int \frac{x^2}{1+x^2}] = $

$ = x \cdot ln(1+x^2) - 2[\int \frac{x^2+1-1}{1+x^2}] = $

$ = x \cdot ln(1+x^2) - 2[\int \frac{x^2-1}{1+x^2} \, dx - \int \frac{1}{1+x^2} \, dx]= $

$ = x \cdot ln(1+x^2) - 2[x - arctanx] + c = $

$ = x \cdot ln(1+x^2) - 2x + 2arctanx + c$

Con la sostituzione? Il logaritmo non si risolve con la sostituzione, quindi il primo passaggio per parti è doveroso, questa è la mia opinione. I passaggi successivi sono due integrali elementari, non ha senso complicarsi la vita con la sostituzione.