iNTEGRALI

Question

[attach]107837[/attach] Risolvere SENZA la tecnica X SOSTITUZIONE. Risolvere CON la tecnica X SOSTITUZIONE. Spiegare gentilmente e argomentare i passaggi.

cmc · Accepted Answer

$  int ln(1+x^2) , dx =$ La presenza di un logaritmo ci suggerisce di provare con la tecnica di integrazione per parti. fattore finito $ f(x) = ln(1+x^2) ; ⇒ ; f'(x) =  frac {2x}{1+x^2} $ fattore differ. $ g'(x) = 1 ; ⇒ ; g(x) = x $ per cui $ = x . ln(1+x^2) - 2[ int  frac {x^2}{1+x^2}] = $ $ = x . ln(1+x^2) - 2[ int  frac {x^2+1-1}{1+x^2}] = $ $ = x . ln(1+x^2) - 2[ int  frac {x^2-1}{1+x^2} , dx -  int  frac {1}{1+x^2} , dx]= $ $ = x . ln(1+x^2) - 2[x - arctanx] + c = $   $ = x . ln(1+x^2) - 2x + 2arctanx + c   Con la sostituzione? Il logaritmo non si risolve con la sostituzione, quindi il primo passaggio per parti è doveroso, questa è la mia opinione. I passaggi successivi sono due integrali elementari, non ha senso complicarsi la vita con la sostituzione.

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