Integrali

a. 

Consideriamo le due funzioni

$ f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2x^2} + 1 &\text{ Se $ x \gt 0$} \\ -\frac{1}{2x^2} + 2 &\text{ Se $ x \lt 0$} \end{cases} $

e

$ g(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2x^2} + 3 &\text{ Se $ x \gt 0$} \\ -\frac{1}{2x^2} + 4 &\text{ Se $ x \lt 0$} \end{cases} $

Le due funzioni non differiscono per una sola costante ma sono entrambe primitive della funzione $y(x) = \frac{1}{x^3}$.   Per provarlo è sufficiente fare le due derivate.

b.  Esiste un teorema a riguardo, anzi afferma che tutte e sole le primitive differiscono per una costante. Il punto è che nelle ipotesi del teorema è richiesto che la funzione sia definita in un intervallo.

La funzione y(x) = x³ è definita in ℝ che ovviamente è un intervallo mentre la funzione h(x) = 1/x³ è definita in (-∞, 0) U (0, +∞) che è l'unione di due intervalli.