Integrali

• Punti di intersezione tra le due parabole.   Si tratta di risolvere il sistema

$ \left\{\begin{aligned} x &= y^2-2y \\ y &= \frac{1}{3} x^2 \end{aligned} \right. $

Le cui soluzioni sono O(0,0)  e A(3, 3)

• Vertice della parabola $x = y^2-2y$. vertice V(-1,1)
• Grafico 

• Integrazione rispetto a x o a y? Scegliamo la prima.

Osserviamo che nel tratto [-1, 0] occorre determinare l'area compresa tra il ramo superiore e il ramo inferiore della parabola

• Calcolo delle funzioni dei due rami delle parabole.

 $x = y^2-2y$

$ y^2-2y-x=0 $    che risolta ci da

1. $ y(x) = 1+\sqrt{x+1}$  ramo superiore della parabola
2. $ y(x) = 1-\sqrt{x+1}$   ramo inferiore della parabola

Passiamo all'integrazione. Per evitare il formulone calcolo l'integrale separatamente, per poi sommare le due aree ottenute.

1. $ A_1 = \int_{-1}^0 1+\sqrt{x+1} -(1-\sqrt{x+1}) \, dx $

$ A_1 = \int_{-1}^0 2\sqrt{x+1} \, dx =$

$ A_1 = \left. \frac{4}{3} (x+1) \sqrt{x+1} \right|_{-1}^0 $

$ A_1 = \frac{4}{3} $

2. $ A_2 = \int_0^3 1+\sqrt{x+1} - \frac{x^2}{3} \, dx $  

$ A_2 = \left. -\frac{x^3}{9} + x + \frac{2}{3} (x+1) \sqrt{x+1} \right|_0^3 $

$ A_2 = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3} $

L'area A cercata sarà la somma delle due 

 $A= A_1 + A_2 = \frac{4}{3}  + \frac{14}{3}  = 6 $