Integrali

• Determiniamo i punti di intersezione tra le due curve risolvendo il sistema

$ \left\{\begin{aligned} y&= x^3+3x^2 \\ y &= x+3 \end{aligned} \right. $

La cui soluzioni sono A(-3,0); B(-1, 2) e C(1,4)

• Grafico

• Sopra/sotto
  • • • La cubica sta sopra alla retta nell'intervallo [-3, -1]
      • La cubica sta sotto alla retta nell'intervallo [-1, 1]

Calcoliamo le due aree separatamente per poi sommarle algebricamente

1.   

$ A_1 = \int_{-3}^{-1} x^3+3x^2 - (x+3) \, dx $

$ A_1 = \left. \frac{x^4}{4} + x^3 -\frac{x^2}{2} -3x  \right|_{-3}^{-1} $

$ A_1 = \frac{7}{4} +\frac{9}{4} = 4 $  

2. 

$ A_2 = \int_{-1}^{1} x+3 -(x^3+3x^2) \, dx $

$ A_2 = \left. -\frac{x^4}{4} - x^3 +\frac{x^2}{2} +3x  \right|_{-1}^{1} $

$ A_2 = \frac{9}{4} +\frac{7}{4}= 4 $  

L'area A sarà quindi

$ A =  4+4 = 8 $