Integrali

Le due funzioni che definiscono i due tratti sono continue e derivabili in tutto ℝ (vedi algebra delle funzioni continue e delle funzioni derivabili).

Non è detto però che lo siano nel punto di raccordo x = 0.

1. Continuità.

dalla definizione puntuale di continuità è necessario che f(0) = lim f(x) per x→0.

Per le considerazioni già viste per questo caso, è sufficiente che 

$ f(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) $

$ 1+b = \displaystyle\lim_{x \to 0^-} \int_0^{2x} f(x) \, dx = 0 $     in pratica è l'integrale da 0 a 0

$ b = -1 $

Il secondo tratto della funzione si riduce alla forma $f(x) = e^x + 2x -1 \qquad \forall x \le 1 $ 

2. Derivabilità.

Essendo l'ultima funzione (b = -1) continua, per essere derivabile è sufficiente che le due derivate laterali siano eguali, cioè

$D^+(0) = D^-(0)$ 

Osserviamo che le derivate dei singoli tratti sono funzioni continue visto che esistono le derivate seconde. Per cui

$ D^+(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} e^x + 2 = 3 $

$ D^-(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^-} (3(2x)^2-a)\cdot D(2x) =$

$ =  \displaystyle\lim_{x \to 0^-} (3(2x)^2-a)\cdot 2 = -2a$

Eguagliando le due derivate laterali otteniamo

$ -2a = 3 \;  ⇒ \; a = -\frac{3}{2} $

Conclusione.

$ a=-\frac{3}{2} \land b=-1 $